2015年国家公务员考试行测：容斥极值问题

宜秀小孩

容斥类极值问题，是在公考中的重要题型。很多考生感觉对容斥极值问题感到无从下手，不知道如何思考此类问题。所谓容斥极值，主要是指交集的极大值与极小值问题，题干中通常有“至少”、“至多”等字眼，解决这类问题通常需采用极限的思想，可以直接套用公式，也可以采用逆向思维的方法。
　　例1.某数学竞赛共160 人进入决赛，决赛共4 题，做对第一题的有136 人，做对第二题的有125 人，做对第三题的有118 人，做对第四题的有104 人。那么，在这次决赛中至少有几人得满分?【2010-安徽】
　　A.3 B.4 C.5 D.6
　　【中公解析】：选A。解析：由公式法可得，得满分就是4道题全部做对，要求至少几人得满分，就是求四集合交集的最小值。由中公课堂上多次讲解的n集合交集的最小集公式：(A1∩A2∩A3∩……An)min=(A1+A2+A3+……)-(n-1)I。所以4道题全做对的最小值为：136+125+118+104-3×160=3，所以至少有3人得到满分。
　　逆向思维：第一题没做对的有160-136=24人，第二题没做对的有160-125=35人，第三题没做对的有160-118=42 人，第四题没做对的有160-104=56 人;四道题全做对的至少有160-(24+35+42+56)=3 人，即至少有3 人得满分。
　　例2.共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1-5题分别有80人，92人，86人，78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?(国考2008年56题)
　　A.30 B.55 C.70 D.74
　　【中公解析】选C。逆向思维。由题意可知，要使能通过考试的人尽可能的少，那么不通过考试的人就要尽可能的多。答对了3道和3道以上的人员能通过考试，等价于答错3道及以上时不能通过考试， 1-5题每题答错错的人数分别是20、8、14、22和26人，即答错题数为20+8+14+22+26=90道题，和为定值。要使不通过考试人组成的集合包含的人尽可能的多，那就让其每个人的错题数尽可能的少，并且又不能少于3道，否则就会通过考试。所以恰好让答错题目的人均答错3道题时，人数最多，为30人。所以，至多有30人不通过考试，至少有70人通过考试。
　　例3.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈?(浙江省考2012年58题)
　　A.12 B.14 C.15 D.16
　　【中公解析】选C。由题意可知，这个班的学生一共就会跳舞蹈12+8+10=30(支)，总和一定。而要想使会跳两种舞蹈的人尽可能多，那就让每一个会跳舞的人恰好会跳2种舞蹈，这时候便是会跳两种舞蹈至多的情况。此时共有15人会跳舞。
　　通过以上题目可以看出，容斥极值问题，只要掌握了分析问题的思路和方法，或直接套用公式，问题便迎刃而解。